Можно показать (мы этого не делаем), что уравнение (2) равносильно уравнению (1), хотя оно и получено из (1) путем неэквивалентных преобразований. Это и означает, что уравнение (2)-уравнение данного эллипса. Оно называется каноническим (т.е. наиболее простым).

Видно, что уравнение эллипса есть уравнение 2-ого порядка, т.е. эллипс-линия 2-го порядка.

Для эллипса введем понятие эксцентриситет. Это величина . Для эллипса эксцентриситет . Так как с и а известны, то тоже известен. Выражение фокальных радиусов точки М(х, у) эллипса легко получаем из предыдущих рассуждений: . r 2 найдем из равенства (3)

Замечание Если в стол вбить два гвоздя (F1 и F2), привязать к ним обоими концами шнурок, длина которого больше расстояния между гвоздями (2а ), натянуть шнур и куском мела вести по столу, то он вычертит замкнутую кривую-эллипс, которая симметрична относительно обеих осей и начала координат.

4. Исследование формы эллипса по его каноническому уравнению.

В замечании мы из соображений наглядности сделали вывод о форме эллипса. Проведем теперь исследование формы эллипса, анализируя его каноническое уравнение:

Найдем точки пересечения с осями координат. Если ,у=0, то , , т.е. имеем две точки А1(-а,0) и А2(а,0). Если х=0, то , . Т.е. имеем две точки В1(0,-b) и B2(0,b) (т.к. , то ). Точки А1,А2,В1,В2 называют вершинами эллипса.

2) Область расположения эллипса можно определить из следующих соображений:

а) из уравнения эллипса следует, что , т.е. , т.е. или .

б) аналогично , т.е. или . Это показывает, что весь эллипс расположен в прямоугольнике, образованном прямыми и .

3) Далее, в уравнение эллипса переменные х и у входят только в четных степенях, а это означает, что кривая симметрична относительно каждой из осей и относительно начала координат. Д-но, если радиусу принадлежит точка (х, у), то ему принадлежат и точки (х, -у), (-х, у) и (-х, -у). Поэтому достаточно рассмотреть лишь ту часть эллипса, которая лежит в первой четверти, где и .

4) Из уравнения эллипса имеем , а в первой четверти . Если х=0, то у=b. Это есть точка B2(0,b). Пусть х увеличивается от 0 до а, тогда y уменьшается от b до 0. Тем самым точка М(х, у), начиная из точки В2(0, b) описывая дугу приходит в точку А(а,0). Можно строго доказать, что дуга выпуклостью направлена вверх. Отражая зеркально эту дугу в осях координат и начале, мы и получим весь эллипс. Оси симметрии эллипса называются его осями, точка О пересечения их-центром эллипса. Длину отрезков ОА1=ОА2=а называют большой полуосью эллипса, отрезков ОВ1,ОВ2=b-малой полуосью эллипса, (а>b), c-полуфокусным расстоянием. Величину просто пояснить геометрически.

При а=b получаем из канонического уравнения эллипса --уравнение окружности. Для окружности , т.е. F1=F2=0. .

Таким образом, окружность-это частный случай эллипса, когда фокусы его совпадают с центром и эксцентриситет=0. Чем больше эксцентриситет, тем больше вытянут эллипс.

Замечание. Из канонического уравнения эллипса легко заключить, что эллипс можно задать в параметрической форме. x=a cos t

y=b sin t, где a, b –большая и малая полуоси, t-угол.

5. Определение и вывод канонического уравнения гиперболы.

Гиперболой называется ГМТ плоскости, для которых разность расстояний от двух фиксированных точек F1F2 плоскости, называемых фокусами, есть постоянная величина (не равная 0 и меньшая, чем фокусное расстояние F1F2).

Будем обозначать, по-прежнему, F1F2=2с, а разность расстояний-2а (а<с). Систему координат выберем как и в случае эллипса.

Пусть М (х,у)-текущая точка гиперболы. По определению МF1-MF2= или r 1 -r 2 = = или --(1). –это и есть уравнение гиперболы.

Избавляемся от иррациональности в (1): уединим один корень, возведем обе части в квадрат, получим: или , снова возведем в квадрат:

Откуда .

Разделим на . Введем обозначение . Тогда --(2). Уравнение (2), как можно показать, равносильно уравнению (1), а потому есть уравнение данной гиперболы. Его называют каноническим уравнением гиперболы. Видим, что уравнение гиперболы тоже второй степени, значит, гипербола-линия второго порядка .

Эксцентриситет гиперболы . Выражение фокальных радиусов через легко получить из предыдущего , тогда находим из .

6. Исследование формы гиперболы по ее каноническому уравнению.

Рассуждаем аналогично тому, как при исследовании эллипса.

1. Находим точки пересечения с осями гиперболы. Если х=0, то . Точек пересечения с осью ОУ нет. Если у=0, то . Точки пересечения , . Они называются вершинами гиперболы.

2. Область расположения гиперболы: , т.е. или . Значит, гипербола расположена вне полосы, ограниченной прямыми x=-a и х=а .

3. Гипербола обладает всеми видами симметрии, т.к. х и у входят в четных степенях. Поэтому достаточно рассмотреть ту часть гиперболы, которая расположена в первой четверти.

4. Из уравнения гиперболы (2) в первой четверти имеем . При х=а, у=0 имеем точку ; при , т.е. кривая уходит вправо вверх. Чтобы ход представить яснее, рассмотрим две вспомогательные прямые, проходящие через начало координат и являющиеся диагоналями прямоугольника со сторонами 2а и 2b: BCB’C’. Они имеют уравнения и . Докажем, что текущая точка гиперболы М(х,у) уходя в бесконечность неограниченно приближается к прямой . Возьмем произвольную точку х и сравним соответствующие ординаты точки гиперболы и --прямой. Очевидно, что У>у . MN=Y-y= .

Видим, что при , т.е. кривая неограниченно приближается к прямой по мере удаления от начала координат. Это доказывает, что прямая является асимптотой гиперболы. Причем гипербола не пересекает асимптоту. Этого достаточно, чтобы построить часть гиперболы. Она обращена выпуклостью вверх. Остальные части достраиваются по симметрии. Заметим, что оси симметрии гиперболы (оси координат) называются ее осями , точка пересечения осей-центром гиперболы. Одна ось пересекает гиперболу (действительная ось), другая-нет (мнимая). Отрезок а называют действительной полуосью, отрезок b -мнимой полуосью. Прямоугольник BCB’C’-называется основным прямоугольником гиперболы.

Если а=b , то асимптоты образуют с осями координат углы по . Тогда гиперболу или называют равносторонней или равнобочной. Основной прямоугольник превращается в квадрат. Асимптоты ее перпендикулярны друг другу.

Замечание.

Иногда рассматривают гиперболу, каноническое уравнение которой --(3). Ее называют сопряженной по отношению к гиперболе (2). Гипербола (3) имеет действительную ось вертикальную, мнимую-горизонтальную. Ее вид сразу устанавливается, если переставить х и у , а и b (она превращается в прежнюю). Но тогда гипербола (3) имеет вид:

Вершины ее .

5.Как уже указывалось, уравнение равносторонней гиперболы (а=b) , когда оси координат совпадают с осями гиперболы, имеет вид . (4)

Т.к. асимптоты равносторонней гиперболы перпендикулярны, то их тоже можно взять за оси координат ОХ 1 и ОУ 1 . Это равносильно повороту прежней системы ОХУ на угол . Формулы поворота на угол следующие:

Тогда в новой системе координат ОХ 1 У 1 уравнение (4) перепишется:

Или или . Обозначая , получим или (5)-это уравнение равносторонней гиперболы , отнесенной к асимптотам (именно этот вид гиперболы рассматривался в школе).

Замечание : Из уравнения следует, что площадь любого прямоугольника, построенного на координатах любой точки гиперболы М(х,у) одна и та же: S=k 2 .

7. Определение и вывод канонического уравнение параболы.

Параболой называется ГМТ плоскости, для каждой из которых расстояние от фиксированной точки Fплоскости, называемой фокусом , равно расстоянию от фиксированной прямой, называемой директрисой (фокус вне директрисы).

Будем обозначать расстояние от Fдо директрисы через р и называть параметром параболы. Выберем следующим образом систему координат: ось ОХ проведем через точку Fперпендикулярно директрисе NP. Начало координат выберем в середине отрезкаFP.

В этой системе: .

Возьмем произвольную точку М(х,у) с текущими координатами (х,у). Поэтому

Отсюда (1)-это и есть уравнение параболы. Упростим:

Или (2)-это и есть каноническое уравнение параболы. Можно показать, что (1) и (2) равносильны.

Уравнение (2) есть уравнение 2-го порядка, т.е. парабола-линия 2-го порядка.

8. Исследование формы параболы по ее каноническому уравнению.

(р>0).

1) х=0, у=0 парабола проходит через начало координат точку О. Ее называют вершиной параболы.

2) , т.е. парабола располагается правее оси ОУ, в правой полуплоскости.

3) у входит в четной степени, потому парабола симметрична относительно оси ОХ, следовательно, достаточно построить в первой четверти.

4) в 1 четверти при , т.е. парабола идет вверх вправо. Можно показать, что выпуклостью-вверх. По симметрии строим внизу. Ось ОУ-касательная к параболе.

Очевидно, фокальный радиус-- . Отношение называется эксцентриситетом : . Ось симметрии параболы (у нас ОХ) называется осью параболы.

Заметим, что уравнение тоже есть парабола, но направленная в противоположную сторону. Уравнения тоже задают параболы, осью которых является ось ОУ.

или в более привычном виде , где .

Уравнение определяет обычную параболу со смещенной вершиной .

Замечания. 1) Между всеми четырьмя линиями 2-го порядка существует близкое родство-все они являются коническими сечениями . Если взять конус из двух полостей, то при сечении плоскостью перпендикулярной оси конуса получим окружность, если чуть наклонить плоскость сечения получим эллипс; если плоскость параллельна образующей, то в сечении-парабола, если плоскость пересекает обе

полости-гипербола.

2) Можно доказать, что если луч света исходя из фокуса параболы, отражается от нее, то отраженный луч идет параллельно оси параболы-это используется при действии прожекторов-параболический отражатель, а в фокусе-источник света. Получается направленный поток света.

3) Если представить запуск спутника Земли из точки Т, лежащей за пределами атмосферы в горизонтальном направлении, то если начальная скорость v 0 недостаточна, то спутник вращаться вокруг Земли не будет. При достижении 1-ой космической скорости спутник будет вращаться вокруг Земли по круговой орбите с центром в центре Земли. Если начальную скорость увеличить, то вращение будет происходить по эллипсу, центр Земли будет в одном из фокусов. При достижении 2-ой космической скорости траектория станет параболической и спутник не вернется в точку Т, но будет находиться в пределах Солнечной системы. Т.е. парабола есть эллипс с одним бесконечно удаленным фокусом. При дальнейшем увеличении начальной скорости траектория станет гиперболической и второй фокус появиться с другой стороны. Центр Земли будет все время находиться в фокусе орбиты. Спутник уйдет за пределы Солнечной системы.

11.1. Основные понятия

Рассмотрим линии, определяемые уравнениями второй степени относительно текущих координат

Коэффициенты уравнения - действительные числа, но по крайней мере одно из чисел А, В или С отлично от нуля. Такие линии называются линиями (кривыми) второго порядка. Ниже будет установлено, что уравнение (11.1) определяет на плоскости окружность, эллипс, гиперболу или параболу. Прежде, чем переходить к этому утверждению, изучим свойства перечисленных кривых.

11.2. Окружность

Простейшей кривой второго порядка является окружность. Напомним, что окружностью радиуса R с центром в точке называется множе­ство всех точек Μ плоскости, удовлетворяющих условию . Пусть точка в прямоугольной системе координат имеет координаты x 0 , y 0 а - произвольная точка окружности (см. рис. 48).

Тогда из условия получаем уравнение

(11.2)

Уравнению (11.2) удовлетворяют координаты любой точки данной окружности и не удовлетворяют координаты никакой точки, не лежащей на окружности.

Уравнение (11.2) называется каноническим уравнением окружности

В частности, полагая и , получим уравнение окружности с центром в начале координат .

Уравнение окружности (11.2) после несложных преобразований примет вид . При сравнении этого уравнения с общим уравнением (11.1) кривой второго порядка легко заметить, что для уравнения окружности выполнены два условия:

1) коэффициенты при x 2 и у 2 равны между собой;

2) отсутствует член, содержащий произведение xу текущих координат.

Рассмотрим обратную задачу. Положив в уравнении (11.1) значения и , получим

Преобразуем это уравнение:

(11.4)

Отсюда следует, что уравнение (11.3) определяет окружность при условии . Ее центр находится в точке , а радиус

.

Если же , то уравнение (11.3) имеет вид

.

Ему удовлетворяют координаты единственой точки . В этом случае говорят: “окружность выродилась в точку” (имеет нулевой радиус).

Если , то уравнение (11.4), а следовательно, и равносильное уравнение (11.3), не определят никакой линии, так как правая часть уравнения (11.4) отрицательна, а левая – не отрицательная (говорять: “окружность мнимая”).

11.3. Эллипс

Каноническое уравнение эллипса

Эллипсом называется множество всех точек плоскости, сумма расстояний от каждой из которых до двух данных точек этой плоскости, называемых фокусами , есть величина постоянная, большая, чем расстояние между фокусами.

Обозначим фокусы через F 1 и F 2 , расстояние между ними через 2c , а сумму расстояний от произ­вольной точки эллипса до фокусов - через 2a (см. рис. 49). По определению 2a > 2c , т. е. a > c .

Для вывода уравнения эллипса выберем систему координат так, чтобы фокусы F 1 и F 2 лежали на оси , а начало координат совпадало с серединой отрезка F 1 F 2 . Тогда фокусы будут иметь следующие координаты: и .

Пусть - произвольная точка эллипса. Тогда, согласно определению эллипса, , т. е.

Это, по сути, и есть уравнение эллипса.

Преобразуем уравнение (11.5) к более простому виду следующим образом:

Так как a >с , то . Положим

(11.6)

Тогда последнее уравнение примет вид или

(11.7)

Можно доказать, что уравнение (11.7) равносильно исходному уравнению. Оно называется каноническимуравнением эллипса .

Эллипс - кривая второго порядка.

Исследование формы эллипса по его уравнению

Установим форму эллипса, пользуясь его каноническим уравнением.

1. Уравнение (11.7) содержит х и у только в четных степенях, поэтому если точка принадлежит эллипсу, то ему также принадлежат точки ,,. Отсюда следует, что эллипс симметричен относительно осей и , а также относительно точки , которую называют центром эллипса.

2. Найдем точки пересечения эллипса с осями координат. Положив , находим две точки и , в которых ось пересекает эллипс (см. рис. 50). Положив в уравнении (11.7) , находим точки пересечения эллипса с осью : и . Точки A 1 , A 2 , B 1 , B 2 называются вершинами эллипса . Отрезки A 1 A 2 и B 1 B 2 , а также их длины 2a и 2b называются соответственно большой и малой осями эллипса. Числа a и b называются соответственно боль­шой и малой полуосями эллипса.

3. Из уравнения (11.7) следует, что каждое слагаемое в левой части не превосходит единицы, т.е. имеют место неравенства и или и . Следовательно, все точки эллипса.лежаї внутри прямоугольника, образованного прямыми .

4. В уравнении (11.7) сумма неотрицательных слагаемых и равна единице. Следовательно, при возрастании одного слагаемого другое будет уменьшаться, т. е. если возрастает, то уменьшается и наоборот.

Из сказанного следует, что эллипс имеет форму, изображенную на рис. 50 (овальная замкнутая кривая).

Дополнительные сведения об эллипсе

Форма эллипса зависит от отношения . При эллипс превращается в окружность, уравнение эллипса (11.7) принимает вид . В качестве характеристики формы эллипса чаще пользуются отношением . Отношение половины расстояния между фокусами к большой полуоси эллипса называется эксцентриситетом эллипса и o6oзначается буквой ε («эпсилон»):

причем 0<ε< 1, так как 0<с<а. С учетом равенства (11.6) формулу (11.8) можно переписать в виде

Отсюда видно, что чем меньше эксцентриситет эллипса, тем эллипс будет менее сплющенным; если положить ε = 0, то эллипс превращается в окружность.

Пусть М(х;у) -- произвольная точка эллипса с фокусами F 1 и F 2 (см. рис. 51). Длины отрезков F 1 M=r 1 и F 2 M = r 2 называются фокальными радиусами точ­ки Μ. Очевидно,

Имеют место формулы

Прямые называются

Теорема 11.1. Если - расстояние от произвольной точки эллипса до какого-нибудь фокуса, d - расстояние от этой же точки до соответствующей этому фокусу директрисы, то отношение есть постоянная величина, равная эксцентриситету эллипса:

Из равенства (11.6) следует, что . Если же , то уравнение (11.7) определяет эллипс, большая ось которого лежит на оси Оу, а малая ось - на оси Ох (см. рис. 52). Фокусы такого эллипса находятся в точках и , где .

11.4. Гипербола

Каноническое уравнение гиперболы

Гиперболой называется множество всех точек плоскости, модуль разности расстояний от каждой из которых до двух данных точек этой плоскости, называемых фокусами , есть величина постоянная, меньшая, чем расстояние между фокусами.

Обозначим фокусы через F 1 и F 2 расстояние между ними через 2с , а модуль разности расстоя­ний от каждой точки гиперболы до фокусов через 2a . По определению 2a < 2с , т. е. a < c .

Для вывода уравнения гиперболы выберем си­стему координат так, чтобы фокусы F 1 и F 2 лежали на оси , а начало координат совпало с серединой отрезка F 1 F 2 (см. рис. 53). Тогда фокусы будут иметь координаты и

Пусть - произвольная точка гиперболы. Тогда согласно опре­делению гиперболы или , т.е.. После упрощений, как это было сделано при выводе уравнения эллипса, получим каноническое уравнение гиперболы

(11.9)

(11.10)

Гипербола есть линия второго порядка.

Исследование формы гиперболы по ее уравнению

Установим форму гиперболы, пользуясь ее каконическим уравнением.

1. Уравнение (11.9) содержит x и у только в четных степенях. Сле­довательно, гипербола симметрична относительно осей и , а также относительно точки , которую называют центром гиперболы.

2. Найдем точки пересечения гиперболы с осями координат. Положив в уравнении (11.9), находим две точки пересечения гиперболы с осью : и . Положив в (11.9), получаем , чего быть не может. Следовательно, гипербола ось Оу не пересекает.

Точки и называются вершинами гиперболы, а отрезок

действительной осью , отрезок - действительной полуосью гиперболы.

Отрезок , соединяющий точки и называется мнимой осью , число b - мнимой полуосью . Прямоугольник со сторонами 2a и 2b называется основным прямоугольником гиперболы .

3. Из уравнения (11.9) следует, что уменьшаемое не меньше единицы т. е. что или . Это означает, что точки гиперболы расположены справа от прямой (правая ветвь гиперболы) и слева от прямой (левая ветвь гиперболы).

4. Из уравнения (11.9) гиперболы видно, что когда возрастает, то и воз­растает. Это следует из того, что разность сохраняет постоянное значение, равное единице.

Из сказанного следует, что гипербола имеет форму, изображенную на рисунке 54 (кривая, состоящая из двух неограниченных ветвей).

Асимптоты гиперболы

Прямая L называется асимптотой неограниченной кривой K, если расстояние d от точки M кривой K до этой прямой стремится к ну­лю при неограниченном удалении точки M вдоль кривой K от начала координат. На рисунке 55 приведена иллюстрация понятия асимптоты: прямая L является асимптотой для кривой К.

Покажем, что гипербола имеет две асимптоты:

(11.11)

Так как прямые (11.11) и гипербола (11.9) симметричны относительно координатных осей, то достаточно рассмотреть только те точки указанных линий, которые расположены в первой четверти.

Возьмем на прямой точку N имеющей ту же абсциссу х, что и точка на гиперболе (см.рис. 56), и найдем разность ΜΝ между ордина­тами прямой и ветви гиперболы:

Как видно, по мере возрастания х знаменатель дроби увеличивается; числитель - есть постоянная величина. Стало быть, длина отрезка ΜΝ стремится к нулю. Так как ΜΝ больше расстояния d от точки Μ до прямой, то d и подавно стремится к ну­лю. Итак, прямые являются асимптотами гиперболы (11.9).

При построении гиперболы (11.9) целесообразно сначала построить ос­новной прямоугольник гиперболы (см. рис. 57), провести прямые, проходящие через противоположные вершины этого прямоугольника, - асимптоты гиперболы и отметить вершины и , гиперболы.

Уравнение равносторонней гиперболы.

асимптотами которой служат оси координат

Гипербола (11.9) называется равносторонней, если ее полуоси равны (). Ее каноническое уравнение

(11.12)

Асимптоты равносторонней гиперболы имеют уравнения и и, следовательно, являются биссектрисами координатных углов.

Рассмотрим уравнение этой гиперболы в новой си­стеме координат (см. рис. 58), полученной из старой поворотом осей координат на угол . Используем формулы поворота осей координат:

Подставляем значения х и у в уравнение (11.12):

Уравнение равносторонней гиперболы, для которой оси Ох и Оу являются асимптотами, будет иметь вид .

Дополнительные сведения о гиперболе

Эксцентриситетом гиперболы (11.9) называется отношение расстояния между фокусами к величине действительной оси гиперболы, обозначается ε:

Так как для гиперболы , то эксцентриситет гиперболы больше единицы: . Эксцентриситет характеризует форму гиперболы. Дей­ствительно, из равенства (11.10) следует, что т.е. и .

Отсюда видно, что чем меньше эксцентриситет гиперболы, тем меньше отношение - ее полуосей, а значит, тем более вытянут ее основной прямоугольник.

Эксцентриситет равносторонней гиперболы равен . Действительно,

Фокальные радиусы и для то­чек правой ветви гиперболы имеют вид и , а для левой - и .

Прямые - называются директрисами гиперболы. Так как для гиперболы ε > 1, то . Это значит, что правая директриса расположена между центром и правой вершиной гиперболы, левая - между центром и левой вершиной.

Директрисы гиперболы имеют то же свойство , что и директрисы эллипса.

Кривая, определяемая уравнением также есть гипербола, действительная ось 2b которой расположена на оси Оу, а мнимая ось 2a - на оси Ох. На рисунке 59 она изображена пунктиром.

Очевидно, что гиперболы и имеют общие асимптоты. Такие гиперболы называются сопряженными.

11.5. Парабола

Каноническое уравнение параболы

Параболой называется множество всех точек плоскости, каждая из которых одинаково удалена от данной точки, называемой фокусом, и данной прямой, называемой директрисой. Расстояние от фокуса F до директрисы называется параметром параболы и обозначается через p (p > 0).

Для вывода уравнения параболы выберем систему координат Оху так, чтобы ось Ох проходила через фокус F перпендикулярно директрисе в направлении от директрисы к F, а начало координат О расположим посередине между фокусом и директри­сой (см. рис. 60). В выбранной системе фокус F имеет координаты , а уравнение директрисы имеет вид , или .

1. В уравнении (11.13) переменная у входит в четной степени, значит, парабола симметрична относительно оси Ох; ось Ох является осью сим­метрии параболы.

2. Так как ρ > 0, то из (11.13) следует, что . Следовательно, парабола рас­положена справа от оси Оу.

3. При имеем у = 0. Следователь­но, парабола проходит через начало коор­динат.

4. При неограниченном возрастании x модуль у также неограниченно возраста­ет. Парабола имеет вид (форму), изображенный на рисунке 61. Точ­ка О(0; 0) называется вершиной параболы, отрезок FM = r называется фокальным радиусом точки М.

Уравнения , , (p>0 ) также определяют параболы, они изображены на рисунке 62

Нетрудно показать, что график квадратного трехчлена , где , B и С любые действительные числа, представляет собой параболу в смысле приведенного выше ее определения.

11.6. Общее уравнение линий второго порядка

Уравнения кривых второго порядка с осями симметрии, параллельными координатным осям

Найдем сначала уравнение эллипса с центром в точке , оси симметрии которого параллельны координатным осям Ох и Оу и полуоси соответственно равны a и b . Поместим в центре эллипса O 1 начало новой системы координат , оси которой и полуосями a и b (см. рис. 64):

И, наконец, параболы, изображенные на рисунке 65, имеют соответству­ющие уравнения.

Уравнение

Уравнения эллипса, гиперболы, параболы и уравнение окружности после преобразований (раскрыть скобки, перенести все члены уравнения в одну сторону, привести подобные члены, ввести новые обозначения для коэффициентов) можно записать с помощью единого уравнения вида

где коэффициенты А и С не равны нулю одновременно.

Возникает вопрос: всякое ли уравнение вида (11.14) определяет одну из кривых (окружность, эллипс, гипербола, парабола) второго порядка? Ответ дает следующая теорема.

Теорема 11.2 . Уравнение (11.14) всегда определяет: либо окружность (при А = С), либо эллипс (при А · С > 0), либо гиперболу (при А · С < 0), либо параболу (при А×С= 0). При этом возможны случаи вырождения: для эллипса (окружности) - в точку или мнимый эллипс (окружность), для гиперболы - в пару пересекающихся прямых, для параболы - в пару параллельных прямых.

Общее уравнение второго порядка

Рассмотрим теперь общее уравнение второй степени с двумя неизвест­ными:

Оно отличается от уравнения (11.14) наличием члена с произведением координат (B¹ 0). Можно, путем поворота координатных осей на угол a , преобразовать это уравнение, чтобы в нем член с произведением координат отсутствовал.

Используя формулы поворота осей

выразим старые координаты через новые:

Выберем угол a так, чтобы коэффициент при х" · у" обратился в нуль, т. е. чтобы выполнялось равенство

Таким образом, при повороте осей на угол а, удовлетворяющий условию (11.17), уравнение (11.15) сводится к уравнению (11.14).

Вывод : общее уравнение второго порядка (11.15) определяет на плоскости (если не считать случаев вырождения и распадения) следующие кривые: окружность, эллипс, гиперболу, параболу.

Замечание: Если А = С, то уравнение (11.17) теряет смысл. В этом случае cos2α = 0 (см. (11.16)), тогда 2α = 90°, т. е. α = 45°. Итак, при А = С систему координат следует повернуть на 45°.

Линии второго порядка.
Эллипс и его каноническое уравнение. Окружность

После основательной проработки прямых на плоскости продолжаем изучать геометрию двухмерного мира. Ставки удваиваются, и я приглашаю вас посетить живописную галерею эллипсов, гипербол, парабол, которые являются типичными представителями линий второго порядка . Экскурсия уже началась, и сначала краткая информация обо всей экспозиции на разных этажах музея:

Понятие алгебраической линии и её порядка

Линию на плоскости называют алгебраической , если в аффинной системе координат её уравнение имеет вид , где – многочлен, состоящий из слагаемых вида ( – действительное число, – целые неотрицательные числа).

Как видите, уравнение алгебраической линии не содержит синусов, косинусов, логарифмов и прочего функционального бомонда. Только «иксы» и «игреки» в целых неотрицательных степенях.

Порядок линии равен максимальному значению входящих в него слагаемых.

По соответствующей теореме, понятие алгебраической линии, а также её порядок не зависят от выбора аффинной системы координат , поэтому для лёгкости бытия считаем, что все последующие выкладки имеют место быть в декартовых координатах .

Общее уравнение линии второго порядка имеет вид , где – произвольные действительные числа ( принято записывать с множителем-«двойкой») , причём коэффициенты не равны одновременно нулю.

Если , то уравнение упрощается до , и если коэффициенты одновременно не равны нулю, то это в точности общее уравнение «плоской» прямой , которая представляет собой линию первого порядка .

Многие поняли смысл новых терминов, но, тем не менее, в целях 100%-го усвоения материала сунем пальцы в розетку. Чтобы определить порядок линии, нужно перебрать все слагаемые её уравнения и у каждого из них найти сумму степеней входящих переменных.

Например:

слагаемое содержит «икс» в 1-й степени;
слагаемое содержит «игрек» в 1-й степени;
в слагаемом переменные отсутствуют, поэтому сумма их степеней равна нулю.

Теперь разберёмся, почему уравнение задаёт линию второго порядка:

слагаемое содержит «икс» во 2-й степени;
у слагаемого сумма степеней переменных: 1 + 1 = 2;
слагаемое содержит «игрек» во 2-й степени;
все остальные слагаемые – меньшей степени.

Максимальное значение: 2

Если к нашему уравнению дополнительно приплюсовать, скажем, , то оно уже будет определять линию третьего порядка . Очевидно, что общий вид уравнения линии 3-го порядка содержит «полный комплект» слагаемых, сумма степеней переменных в которых равна трём:
, где коэффициенты не равны одновременно нулю.

В том случае, если добавить одно или несколько подходящих слагаемых, которые содержат , то речь уже зайдёт о линии 4-го порядка , и т.д.

С алгебраическими линиями 3-го, 4-го и более высоких порядков нам придется столкнуться ещё не раз, в частности, при знакомстве с полярной системой координат .

Однако вернёмся к общему уравнению и вспомним его простейшие школьные вариации. В качестве примеров напрашивается парабола , уравнение которой легко привести к общему виду , и гипербола с эквивалентным уравнением . Однако не всё так гладко….

Существенный недостаток общего уравнения состоит в том, что почти всегда не понятно, какую линию оно задаёт. Даже в простейшем случае не сразу сообразишь, что это гипербола. Такие расклады хороши только на маскараде, поэтому в курсе аналитической геометрии рассматривается типовая задача приведения уравнения линии 2-го порядка к каноническому виду .

Что такое канонический вид уравнения?

Это общепринятый стандартный вид уравнения, когда в считанные секунды становится ясно, какой геометрический объект оно определяет. Кроме того, канонический вид очень удобен для решения многих практических заданий. Так, например, по каноническому уравнению «плоской» прямой , во-первых, сразу понятно, что это прямая, а во-вторых – элементарно просматривается принадлежащая ей точка и направляющий вектор .

Очевидно, что любая линия 1-го порядка представляет собой прямую. На втором же этаже нас ждёт уже не вахтёр, а гораздо более разнообразная компания из девяти статуй:

Классификация линий второго порядка

С помощью специального комплекса действий любое уравнение линии второго порядка приводится к одному из следующих видов:

( и – положительные действительные числа)

1) – каноническое уравнение эллипса;

2) – каноническое уравнение гиперболы;

3) – каноническое уравнение параболы;

4) – мнимый эллипс;

5) – пара пересекающихся прямых;

6) – пара мнимых пересекающихся прямых (с единственной действительной точкой пересечения в начале координат);

7) – пара параллельных прямых;

8) – пара мнимых параллельных прямых;

9) – пара совпавших прямых.

У ряда читателей может сложиться впечатление неполноты списка. Например, в пункте № 7 уравнение задаёт пару прямых , параллельных оси , и возникает вопрос: а где же уравнение , определяющее прямые , параллельные оси ординат? Ответ: оно не считается каноническим . Прямые представляют собой тот же самый стандартный случай , повёрнутый на 90 градусов, и дополнительная запись в классификации избыточна, поскольку не несёт ничего принципиально нового.

Таким образом, существует девять и только девять различных видов линий 2-го порядка, но на практике наиболее часто встречаются эллипс, гипербола и парабола .

Сначала рассмотрим эллипс. Как обычно, я акцентирую внимание на тех моментах, которые имеют большое значение для решения задач, и если вам необходим подробный вывод формул, доказательства теорем, пожалуйста, обратитесь, например, к учебнику Базылева/Атанасяна либо Александрова.

Эллипс и его каноническое уравнение

Правописание… пожалуйста, не повторяйте ошибок некоторых пользователей Яндекса, которых интересует «как построить эллибз», «отличие элипса от овала» и «эксцентриситет элебса».

Каноническое уравнение эллипса имеет вид , где – положительные действительные числа, причём . Само определение эллипса я сформулирую позже, а пока самое время отдохнуть от говорильни и решить распространённую задачу:

Как построить эллипс?

Да, вот взять его и просто начертить. Задание встречается часто, и значительная часть студентов не совсем грамотно справляются с чертежом:

Пример 1

Построить эллипс, заданный уравнением

Решение : сначала приведём уравнение к каноническому виду:

Зачем приводить? Одно из преимуществ канонического уравнения заключается в том, что оно позволяет моментально определить вершины эллипса , которые находятся в точках . Легко заметить, что координаты каждой из этих точек удовлетворяют уравнению .

В данном случае :


Отрезок называют большой осью эллипса;
отрезок – малой осью ;
число называют большой полуосью эллипса;
число – малой полуосью .
в нашем примере: .

Чтобы быстро представить, как выглядит тот или иной эллипс достаточно посмотреть на значения «а» и «бэ» его канонического уравнения.

Всё ладно, складно и красиво, но есть один нюанс: я выполнил чертёж с помощью программы . И вы можете выполнить чертёж с помощью какого-либо приложения. Однако в суровой действительности на столе лежит клетчатый листок бумаги, и на наших руках водят хороводы мыши. Люди с художественным талантом, конечно, могут поспорить, но мыши есть и у вас тоже (правда, поменьше). Таки не зря человечество изобрело линейку, циркуль, транспортир и другие нехитрые приспособления для черчения.

По этой причине нам вряд ли удастся аккуратно начертить эллипс, зная одни вершины. Ещё куда ни шло, если эллипс небольшой, например, с полуосями . Как вариант, можно уменьшить масштаб и, соответственно, размеры чертежа. Но в общем случае крайне желательно найти дополнительные точки.

Существует два подхода к построению эллипса – геометрический и алгебраический. Построение с помощью циркуля и линейки мне не нравится по причине не самого короткого алгоритма и существенной загроможденности чертежа. В случае крайней необходимости, пожалуйста, обратитесь к учебнику, а в реальности же гораздо рациональнее воспользоваться средствами алгебры. Из уравнения эллипса на черновике быстренько выражаем:

Далее уравнение распадается на две функции:
– определяет верхнюю дугу эллипса;
– определяет нижнюю дугу эллипса.

Заданный каноническим уравнением эллипс симметричен относительно координатных осей, а также относительно начала координат . И это отлично – симметрия почти всегда предвестник халявы. Очевидно, что достаточно разобраться с 1-й координатной четвертью, поэтому нам потребуется функция . Напрашивается нахождение дополнительных точек с абсциссами . Настукаем три смс-ки на калькуляторе:

Безусловно, приятно и то, что если допущена серьёзная ошибка в вычислениях, то это сразу выяснится в ходе построения.

Отметим на чертеже точки (красный цвет), симметричные точки на остальных дугах (синий цвет) и аккуратно соединим линией всю компанию:


Первоначальный набросок лучше прочертить тонко-тонко, и только потом придать нажим карандашу. В результате должен получиться вполне достойный эллипс. Кстати, не желаете ли узнать, что это за кривая?

Определение эллипса. Фокусы эллипса и эксцентриситет эллипса

Эллипс – это частный случай овала. Слово «овал» не следует понимать в обывательском смысле («ребёнок нарисовал овал» и т.п.). Это математический термин, имеющий развёрнутую формулировку. Целью данного урока не является рассмотрение теории овалов и различных их видов, которым практически не уделяется внимания в стандартном курсе аналитической геометрии. И, в соответствии с более актуальными потребностями, мы сразу переходим к строгому определению эллипса:

Эллипс – это множество всех точек плоскости, сумма расстояний до каждой из которых от двух данных точек , называемых фокусами эллипса, – есть величина постоянная, численно равная длине большой оси этого эллипса: .
При этом расстояния между фокусами меньше данного значения: .

Сейчас станет всё понятнее:

Представьте, что синяя точка «ездит» по эллипсу. Так вот, какую бы точку эллипса мы ни взяли, сумма длин отрезков всегда будет одной и той же:

Убедимся, что в нашем примере значение суммы действительно равно восьми. Мысленно поместите точку «эм» в правую вершину эллипса, тогда: , что и требовалось проверить.

На определении эллипса основан ещё один способ его вычерчивания. Высшая математика, порой, причина напряжения и стресса, поэтому самое время провести очередной сеанс разгрузки. Пожалуйста, возьмите ватман либо большой лист картона и приколотите его к столу двумя гвоздиками. Это будут фокусы . К торчащим шляпкам гвоздей привяжите зелёную нитку и до упора оттяните её карандашом. Гриф карандаша окажется в некоторой точке , которая принадлежит эллипсу. Теперь начинайте вести карандаш по листу бумаги, сохраняя зелёную нить сильно натянутой. Продолжайте процесс до тех пор, пока не вернётесь в исходную точку… отлично… чертёж можно сдать на проверку врачу преподавателю =)

Как найти фокусы эллипса?

В приведённом примере я изобразил «готовенькие» точки фокуса, и сейчас мы научимся добывать их из недр геометрии.

Если эллипс задан каноническим уравнением , то его фокусы имеют координаты , где – это расстояние от каждого из фокусов до центра симметрии эллипса .

Вычисления проще пареной репы:

! Со значением «цэ» нельзя отождествлять конкретные координаты фокусов! Повторюсь, что – это РАССТОЯНИЕ от каждого из фокусов до центра (который в общем случае не обязан располагаться именно в начале координат).
И, следовательно, расстояние между фокусами тоже нельзя привязывать к каноническому положению эллипса. Иными словами, эллипс можно перенести в другое место и значение останется неизменным, в то время как фокусы, естественно, поменяют свои координаты. Пожалуйста, учитывайте данный момент в ходе дальнейшего изучения темы.

Эксцентриситет эллипса и его геометрический смысл

Эксцентриситетом эллипса называют отношение , которое может принимать значения в пределах .

В нашем случае:

Выясним, как форма эллипса зависит от его эксцентриситета. Для этого зафиксируем левую и правую вершины рассматриваемого эллипса, то есть, значение большой полуоси будет оставаться постоянным. Тогда формула эксцентриситета примет вид: .

Начнём приближать значение эксцентриситета к единице. Это возможно только в том случае, если . Что это значит? …вспоминаем про фокусы . Это значит, что фокусы эллипса будут «разъезжаться» по оси абсцисс к боковым вершинам. И, поскольку «зелёные отрезки не резиновые», то эллипс неизбежно начнёт сплющиваться, превращаясь всё в более и более тонкую сосиску, нанизанную на ось .

Таким образом, чем ближе значение эксцентриситета эллипса к единице, тем эллипс более продолговат .

Теперь смоделируем противоположный процесс: фокусы эллипса пошли навстречу друг другу, приближаясь к центру. Это означает, что значение «цэ» становится всё меньше и, соответственно, эксцентриситет стремится к нулю: .
При этом «зелёным отрезкам» будет, наоборот – «становиться тесно» и они начнут «выталкивать» линию эллипса вверх и вниз.

Таким образом, чем ближе значение эксцентриситета к нулю, тем эллипс больше похож на … смотрим предельный случай , когда фокусы успешно воссоединились в начале координат:

Окружность – это частный случай эллипса

Действительно, в случае равенства полуосей каноническое уравнение эллипса принимает вид , который рефлекторно преобразуется к – хорошо известному из школы уравнению окружности с центром в начале координат радиуса «а».

На практике чаще используют запись с «говорящей» буквой «эр»: . Радиусом называют длину отрезка , при этом каждая точка окружности удалена от центра на расстояние радиуса.

Заметьте, что определение эллипса остаётся полностью корректным: фокусы совпали , и сумма длин совпавших отрезков для каждой точки окружности – есть величина постоянная. Так как расстояние между фокусами , то эксцентриситет любой окружности равен нулю .

Строится окружность легко и быстро, достаточно вооружиться циркулем. Тем не менее, иногда бывает нужно выяснить координаты некоторых её точек, в этом случае идём знакомым путём – приводим уравнение к бодрому матановскому виду:

– функция верхней полуокружности;
– функция нижней полуокружности.

После чего находим нужные значения, дифференцируем , интегрируем и делаем другие хорошие вещи.

Статья, конечно, носит справочный характер, но как на свете без любви прожить? Творческое задание для самостоятельного решения

Пример 2

Составить каноническое уравнение эллипса, если известен один из его фокусов и малая полуось (центр находится в начале координат). Найти вершины, дополнительные точки и изобразить линию на чертеже. Вычислить эксцентриситет.

Решение и чертёж в конце урока

Добавим экшена:

Поворот и параллельный перенос эллипса

Вернёмся к каноническому уравнению эллипса , а именно, к условию , загадка которого терзает пытливые умы ещё со времён первого упоминания о данной кривой. Вот мы рассмотрели эллипс , но разве на практике не может встретиться уравнение ? Ведь здесь , однако, это вроде бы как тоже эллипс!

Подобное уравнение нечасто, но действительно попадается. И оно действительно определяет эллипс. Развеем мистику:

В результате построения получен наш родной эллипс, повёрнутый на 90 градусов. То есть, – это неканоническая запись эллипса . Запись! – уравнение не задаёт какой-то другой эллипс, поскольку на оси не существует точек (фокусов), которые бы удовлетворяли определению эллипса.

Это геометрическая фигура, которая ограничена кривой, заданной уравнением .

Он имеет два фокуса. Фокусами называются такие две точки, сумма расстояний от которых до любой точки эллипса есть постоянная величина.

Чертеж фигуры эллипс

F 1 , F 2 – фокусы. F 1 = (c ; 0); F 2 (- c ; 0)

с – половина расстояния между фокусами;

a – большая полуось;

b – малая полуось.

Теорема. Фокусное расстояние и полуоси связаны соотношением:

a 2 = b 2 + c 2 .

Доказательство: В случае, если точка М находится на пересечении эллипса с вертикальной осью, r 1 + r 2 = 2*(по теореме Пифагора). В случае, если точка М находится на пересечении его с горизонтальной осью, r 1 + r 2 = a – c + a + c. Т.к. по определению сумма r 1 + r 2 – постоянная величина, то, приравнивая, получаем:

r 1 + r 2 = 2 a .

Эксцентриситет фигуры эллипс

Определение. Форма эллипса определяется характеристикой, которая является отношением фокусного расстояния к большей оси и называется эксцентриситетом .

Т.к. с < a , то е < 1.

Определение. Величина k = b / a называется коэффициентом сжатия , а величина 1 – k = (a – b)/ a называется сжатием .

Коэффициент сжатия и эксцентриситет связаны соотношением: k 2 = 1 – e 2 .

Если a = b (c = 0, e = 0, фокусы сливаются), то эллипс превращается в окружность.

Если для точки М(х 1 , у 1) выполняется условие: , то она находится внутри эллипса, а если , то точка находится вне его.

Теорема. Для произвольной точки М(х, у), принадлежащей фигуре эллипс верны соотношения :

r 1 = a – ex , r 2 = a + ex .

Доказательство. Выше было показано, что r 1 + r 2 = 2 a . Кроме того, из геометрических соображений можно записать:

После возведения в квадрат и приведения подобных слагаемых:

Аналогично доказывается, что r 2 = a + ex . Теорема доказана.

Директрисы фигуры эллипс

С фигурой эллипс связаны две прямые, называемые директрисами . Их уравнения:

x = a / e ; x = - a / e .

Теорема. Для того, чтобы точка лежала на границе фигуры эллипс, необходимо и достаточно, чтобы отношение расстояния до фокуса к расстоянию до соответствующей директрисы равнялось эксцентриситету е.

Пример. Составить , проходящей через левый фокус и нижнюю вершину фигуры эллипс, заданного уравнением:

Точки F 1 (–c , 0) и F 2 (c , 0), где называются фокусами эллипса , при этом величина 2c определяет междуфокусное расстояние .

Точки А 1 (–а , 0), А 2 (а , 0), В 1 (0, –b ), B 2 (0, b ) называются вершинами эллипса (рис. 9.2), при этом А 1 А 2 = 2а образует большую ось эллипса, а В 1 В 2 – малую, – центр эллипса.

Основные параметры эллипса, характеризующие его форму:

ε = с /a – эксцентриситет эллипса ;

– фокальные радиусы эллипса (точка М принадлежит эллипсу), причем r 1 = a + εx , r 2 = a – εx ;

– директрисы эллипса .

Для эллипса справедливо: директрисы не пересекают границу и внутреннюю область эллипса, а также обладают свойством

Эксцентриситет эллипса выражает его меру «сжатости».

Если b > a > 0, то эллипс задается уравнением (9.7), для которого вместо условия (9.8) выполняется условие

Тогда 2а – малая ось, 2b – большая ось, – фокусы (рис. 9.3). При этом r 1 + r 2 = 2b ,
ε = c /b , директрисы определяются уравнениями:

При условии имеем (в виде частного случая эллипса) окружность радиуса R = a . При этом с = 0, а значит, ε = 0.

Точки эллипса обладают характеристическим свойством : сумма расстояний от каждой из них до фокусов есть величина постоянная, равная 2а (рис. 9.2).

Для параметрического задания эллипса (формула (9.7)) в случаях выполнения условий (9.8) и (9.9) в качестве параметра t может быть взята величина угла между радиус-вектором точки, лежащей на эллипсе, и положительным направлением оси Ox :

Если центр эллипса с полуосями находится в точке то его уравнение имеет вид:

Пример 1. Привести уравнение эллипса x 2 + 4y 2 = 16 к каноническому виду и определить его параметры. Изобразить эллипс.

Решение . Разделим уравнение x 2 + 4y 2 = 16 на 16, после чего получим:

По виду полученного уравнения заключаем, что это каноническое уравнение эллипса (формула (9.7)), где а = 4 – большая полуось, b = 2 – малая полуось. Значит, вершинами эллипса являются точки A 1 (–4, 0), A 2 (4, 0), B 1 (0, –2), B 2 (0, 2). Так как – половина междуфокусного расстояния, то точки являются фокусами эллипса. Вычислим эксцентриситет:

Директрисы D 1 , D 2 описываются уравнениями:

Изображаем эллипс (рис. 9.4).

Пример 2. Определить параметры эллипса

Решение. Сравним данное уравнение с каноническим уравнением эллипса со смещенным центром. Находим центр эллипса С : Большая полуось малая полуось прямые – главные оси. Половина междуфокусного расстояния а значит, фокусы Эксцентриситет Директрисы D 1 и D 2 могут быть описаны с помощью уравнений: (рис. 9.5).

Пример 3. Определить, какая кривая задается уравнением, изобразить ее:

1) x 2 + y 2 + 4x – 2y + 4 = 0; 2) x 2 + y 2 + 4x – 2y + 6 = 0;

3) x 2 + 4y 2 – 2x + 16y + 1 = 0; 4) x 2 + 4y 2 – 2x + 16y + 17 = 0;

Решение. 1) Приведем уравнение к каноническому виду методом выделения полного квадрата двучлена:

x 2 + y 2 + 4x – 2y + 4 = 0;

(x 2 + 4x ) + (y 2 – 2y ) + 4 = 0;

(x 2 + 4x + 4) – 4 + (y 2 – 2y + 1) – 1 + 4 = 0;

(x + 2) 2 + (y – 1) 2 = 1.

Таким образом, уравнение может быть приведено к виду

(x + 2) 2 + (y – 1) 2 = 1.

Это уравнение окружности с центром в точке (–2, 1) и радиусом R = 1 (рис. 9.6).

2) Выделяем полные квадраты двучленов в левой части уравнения и получаем:

(x + 2) 2 + (y – 1) 2 = –1.

Это уравнение не имеет смысла на множестве действительных чисел, так как левая часть неотрицательна при любых действительных значениях переменных x и y , а правая – отрицательна. Поэтому говорят, что это уравнение «мнимой окружности» или оно задает пустое множество точек плоскости.

3) Выделяем полные квадраты:

x 2 + 4y 2 – 2x + 16y + 1 = 0;

(x 2 – 2x + 1) – 1 + 4(y 2 + 4y + 4) – 16 + 1 = 0;

(x – 1) 2 + 4(y + 2) 2 – 16 = 0;

(x – 1) 2 + 4(y + 2) 2 = 16.

Значит, уравнение имеет вид:

Полученное уравнение, а следовательно, и исходное задают эллипс. Центр эллипса находится в точке О 1 (1, –2), главные оси задаются уравнениями y = –2, x = 1, причем большая полуось а = 4, малая полуось b = 2 (рис. 9.7).

4) После выделения полных квадратов имеем:

(x – 1) 2 + 4(y + 2) 2 – 17 + 17 = 0 или (x – 1) 2 + 4(y + 2) 2 = 0.

Полученное уравнение задает единственную точку плоскости с координатами (1, –2).

5) Приведем уравнение к каноническому виду:

Очевидно, оно задает эллипс, центр которого находится в точке главные оси задаются уравнениями причем большая полуось малая полуось (рис. 9.8).

Пример 4. Записать уравнение касательной к окружности радиуса 2 с центром в правом фокусе эллипса x 2 + 4y 2 = 4 в точке пересечения с осью ординат.

Решение. Уравнение эллипса приведем к каноническому виду (9.7):

Значит, и правый фокус – Поэтому, искомое уравнение окружности радиуса 2 имеет вид (рис. 9.9):

Окружность пересекает ось ординат в точках, координаты которых определяются из системы уравнений:

Получаем:

Пусть это точки N (0; –1) и М (0; 1). Значит, можно построить две касательные, обозначим их Т 1 и Т 2 . По известному свойству касательная перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания.

Пусть Тогда уравнение касательной Т 1 примет вид:

Значит, или Т 1: Оно равносильно уравнению